Lissajous Kurven





Im Gegensatz zu den Epizykloiden entstehen die Bilder in diesem Kapitel dadurch, dass mehrere Kurven in der Ebene berechnet werden. So zum Beispiel berechnet man zwei verschiedene Lissajous Figuren, wobei die entsprechenden Punkte jeweils durch eine Strecke verbunden werden. Im Bild links sind die ersten Kurvenpunkte der beiden Lissajous-Figuren schwarz und rot. Zwischen in der Nummerierung entsprechenden Punkten wird eine Strecke eingezeichnet.
Informationen zu Lissajous-Figur finden Sie bei Wikipedia. Wir erzeugen hier nicht nur Lissajous-Figuren. Wir schauen uns drei Funktionspaare etwas genauer an.

Funktion (1) erzeugt Lissajous-Figuren, Funktion (2) moduliert diese zusätzlich und Funktion (3) ist eine trigonometrische Funktion, die weitgehend frei erzeugt wurde - aber dennoch Elemente von (1) und (2) besitzt. Sie können alle drei im Sketch unten ausprobieren.
Im Sketch unten wird immer nur eine Kurve gezeichnet. Wenn Sie zu Aktivierung ins Bild klicken, wird das erste Funktionenpaar verwendet, wobei die beiden Frequenzen zufällig gewählt werden. Die beiden Frequenzen und Modulationswerte sind jeweils unten rechts angezeigt. Der zweite Modulationswert wird nur angezeigt, wenn man Taste 'K' drückt, denn zunächst sind beider Werte gleich.



Jeder erneute Klick führt zu einem Neustart. Die zwei aktuellen Frequenzen sind unten rechts angegeben. Die nachfolgende Zahl gibt die Anzahl u der Umdrehungen an. Im Fall des zweiten Funktionenpaares wird rechts daneben noch der Modulationsfaktor K angegeben. Die zehn Tasten bewirken:

  • '1' : erstes Funktionenpaar
  • '2' : zweites Funktionenpaar
  • '3' : drittes Funktionenpaar
  • 'x' : erhöhen der ersten Frequenz
  • 'y' : erhöhen der zweiten Frequenz
  • 'K' : beim zweiten Funktionenpaar die Modulation K erhöhen
  • 'u' : Anzahl der Umdrehungen erhöhen
  • 'b' : Farbpalette ändern (360 Farbwerte/zufällige Farbpalette mit 4096 Farben)
  • 'p' : Hintergrund schwarz / weiß
  • 's' : stoppt bzw führt die Anwendung fort


    • Hier einige Ergebnisse mit den zugehörigen Frequenzen:

    Taste '1'
    Taste '2'

    Taste '3'
    Um im obigen Fall eine geschlossene Kurve zu erhalten, muss man die Anzahl der Umdrehungen 'u' des Winkels erhöhen. Dass dies nicht immer gelingt, zeigt der folgende Screenshot des obigen Sketches. Gewählt wurde hier das zweite Funktionenpaar mit den Frequenzen 3 und 7, sowie 5,5 Umdrehungen und Modulationsfaktor K = 1.6






    Ziel ist aber nach wie vor, mehrere Kurven zu erzeugen, um dann zwischen allen aktuell erzeugten Punkten je eine Strecke einzeichnen zu lassen. Natürlich gibt es unendlich viele Möglichkeiten, da jede Art der Kurve durch entsprechende Wahl der Parameter in unendnlichen Variationen vorkommt. Darüber hinaus kann man diese Kurven in beliebiger Weise kombinieren. So zum Beispiel lässt sich das Prinzip bequem auf drei oder mehr Kurven erweitern. Dies können Sie im nächsten Sketch ausprobieren:

    Sie haben nun zwei Möglichkeiten: Entweder beobachten Sie die Entstehung des Bildes im Sketch oben, was zugegebenermaßen recht lange dauert. Das liegt daran, dass oben, der besseren Beobachtung wegen, bei jedem draw-Durchlauf nur ein neuer Punkt der jeweiligen Kurven ausgerechnet wird und dann die zugehörigen Linien gezeichnet werden. Wesentlich schnell geht es, wenn man in einem draw-Druchlauf alle Punkte berechnen lässt, was den Nachteil hat, dass sich einige Zeit scheinbar nichts tut. Das können Sie im folgenden Sketch testen. Alle Tastebefehle gelten für beide Sketche!


    Hier einige Ergebnisse, zunächst mit weißem Hintergrund (Taste 'p'):



    Mit schwarzem Hintergrund:


    Hier können die drei Sketche, ergänzt durch erläuternde print-Befehle, runtergeladen werden.:

    LissajousSlow0

    LissajousSlow1

    LissajousFast

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