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Simulation

Mathematisches Pendel

Im Kapitel "Physikalische Simulationen" unserem Buch wird das mathematische Pendel bereits behandelt. Allerdings gibt es dort eine wesentliche Einschränkung: Die Auslenkungswinkel des Pendels sollten in jedem Fall kleiner als 10 ° sein. Sobald man diese Einschränkung fallen lässt, gibt es keine durchgehend definierte Lösungsfunktion. Wie Sie oben links in der Herleitung der Differenzialgleichung sehen, bleibt die Sinusfunktion am Schluss stehen. Wenn man große Winkel zulassen will, muss man daher mit numerischen Näherungsverfahren arbeiten. Es gibt nicht wenige, immerhin. Allerdings sollte bei einer sinnvollen Näherung die Gesamtenergie konstant bleiben. Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, ist die Verwendung der "Symplectic Euler"-Methode.

Wenn mit w_n der Winkel in der n-ten Iteration bezeichnet wird und mit g_n die Winkelgeschwindigkeit in diesem Moment, dann bekommt man die folgenden Werte, nachdem Δt verstrichen ist, durch diese Iterationen:
w_n+1 = w_n + Δt · g_n
g_n+1 = g_n - K · sin(w_n+1)

Weitere Informationen zum Thema "mathematisches Pendel" finden Sie bei Wikipedia.

Sie können den Sketch gleich hier ausprobieren (sofern Sie Javascript zulassen). Zu Beginn hat das Pendel einen bestimmten, zunächst festen Ausschlag mit einer zufälligen Winkelgeschwindigkeit. Da der Vorgang reigungsfrei ablaufen soll und weil unsere Näherung energieerhaltend ist, kommt das Pendel immer wieder auf die gleiche Höhe. Wenn Sie auf den weißen Pendel-Bereich klicken, startet das Pendel auf dieser Höhe,- wiederrum mit einer zufälligen Winkelgeschwindigkeit. Im Bild unten wird das zugehörige "Phasendiagramm" aufgezeichnet. Die horizontale Achse steht für den Winkel, die vertikale für die Winkelgeschwindigkeit.

Im Kapitel "Physikalische Simulationen" in unserem Buch wird das mathematische Pendel bereits behandelt. Allerdings gibt es dort eine wesentliche Einschränkung: Die Auslenkungswinkel des Pendels sollten in jedem Fall kleiner als 10 ° sein. Sobald man diese Einschränkung fallen lässt, gibt es keine durchgehend definierte Lösungsfunktion. Wie Sie links in der Herleitung der Differenzialgleichung sehen, bleibt die Sinusfunktion am Schluss stehen. Wenn man große Winkel zulassen will, muss man daher mit numerischen Näherungsverfahren arbeiten. Es gibt nicht wenige, immerhin. Allerdings sollte bei einer sinnvollen Näherung die Gesamtenergie konstant bleiben. Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, ist die Verwendung der "Symplectic Euler"-Methode.

Wenn Sie mehrfach in die Animation des Pendels geklickt haben, bekommen Sie ein ähnliches Bild wie links. Dabei erkennt man, dass es grundsätzlich zwei Arten von Trajektorien gibt: Geschlossene und ungeschlossene Linien. Die geschlossenen Linien gehören zu Pendelbewegungen, die tatsächlich hin- und herschwingen. Die anderen gehören zu Pendeln, die sich überschlagen. Die rote Linie ist die sogenannte "Seperatix". Sie trennt die beiden Bereiche voneinander. Natürlich gibt es diese Bewegung nicht wirklich, denn sie müsste im obersten Punkt stehenbleiben, aber auch gleichzeitig alle anderen Phasenpunkte erreichen.


Sketch Mathematisches Pendel (kleine Ausschläge).

Sketch Mathematisches Pendel (beliebige Ausschläge).

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