Fraktale: Überblick


Gibt es nicht schon zigtausend Fraktal-Seiten im Internet? Wozu dann eine weitere hinzufügen?
Richtig ist, dass sehr viele Seiten gibt, auf denen man kostenlos oder kostenpflichtig Fraktal-Bilder runterladen kann. Ebenso sind fertige Fraktal-Programme zu finden und selbst manche Algorithmen samt Programmcode werden großzügig präsentiert. Aber das, was wir hier behandeln, werden Sie sehr wahrscheinlich vergeblich suchen: Wie erzeugt man wirklich außergewöhnliche Bilder, für die manche Verlage ganze Bücher, Kalender oder Poster drucken. Und das keinesfalls nur für Mathematiker.

In The Colours of Infinity von Lesmoir-Gordon werden ausschließlich schöne Fraktal-Bilder gezeigt. In Images of a Complex World von Chapman und Sprott verrät der Untertitel "The Art and Poetry of Chaos", dass hier Gedichte zu Frakalbildern präsentiert werden. Chaos and Fractals in Finanzial Markets hingegen zeigt die Relevanz der Theorie in der Finanzwelt. Das Märchen vom Apfelmännchen von Karl Gröber ist eine Kombination aus Märchen und Fraktalbildern (in zwei Bänden).

Bis in die 70-er Jahre des letzten Jahrhunderts waren Fraktale allenfalls in der Mathematik im Rahmen der Chaostheorie aufgetaucht. Das änderte sich recht schnell, als klar wurde, dass mit wenig Mathematik ganz erstaunliche Bilder hergestellt werden können. Da die Rechnungen selbst äußerst umfangreich sind, konnte man erst mit dem allmählichen Erscheinen von Heim-Computern erste Experimente auch zuhause durchführen. Zunächst wurde hauptsächlich mit verschiedenen Formeln (für die notwendigen Iterationen bzw. Rekursionen) experimentiert. Ein Bild entsteht aber erst dann, wenn man die Ergebnisse der Rechnungen in irgend einer Weise farblich interpretiert. Sehr schnell stellte sich heraus, dass genau diese Interpretation das eigentliche Problem darstellt, zumindest was das Erzeugen von "schönen" Bildern angeht. Es gibt unzählige Algorithmen, den dreidimenionalen Farbraum auf die eindimensionalen Rechenergebnisse herunterzubrechen. Die meisten liefern keine sonderlich guten Ergebnisse. Findet aber ein Künstler einen "Kniff", der etwa ein Bild wie unten erzeugt, dann darf man davon ausgehen, dass er dieses Geheimnis mit niemandem teilen wird....

Das Besondere an dieser Fraktalseite ist also, dass wir unser spezielles Augenmerk genau auf diese Färbungsalgorithmen werfen und diese natürlich auch genaustens offenlegen ;-))


Dass es sich bei obigem Bild tatsächlich um ein Fraktal handelt, erkennt man höchstens daran, dass in der Mitte die bekannte Silhouette des Apfelmännchens zu sehen ist. Das führt zur Frage: Was genau sind eigentlich "Fraktale"?
Wir ersparen uns die exakte mathematische Definition und erklären statt dessen anschaulich, um welche geometrischen Objekte es sich handelt. Erinnern Sie sich an den Cantor Staub ? Ein geometrisches Objekt in der Ebene, das die Fläche Null besitzt? Diesem Cantor Staub ohne Fläche die gleiche Dimension zuzuordnen, wie die Ebene, die ihn enthält, scheint wenig sinnvoll. Die Mathematiker verwenden ein rechnerisches Verfahren, das diesem Objekt die gebrochenen Dimension 1,26185 zuordnet. Die Formel und ihre Erläuterung finden Sie bei Wikipedia.
Da wir die Färbungsalgorithmen auf alle möglichen Arten von Fraktalen anwenden werden, gibt es hier zunächst einen Überblick über die verschiedenen Möglichkeiten, Fraktale zu erzeugen.

Komplexe natürliche Objekte

Hierbei handelt es sich um geometrische Objekte, die eine "Turtle" (siehe Kapitel 11 im Buch) erzeugt werden kann. Beispiele sind die Peano-Kurve im Bild links, das Sierpinski-Dreieck oder die Hilbert-Kurve .




Iterated Function Systems (IFS)

Gegeben ist ein Satz affiner Abbildungen der Ebene auf sich. Parallele Geraden bleiben darunter parallel. Eine einzelne Abbildung ist immer eine Kombination aus Translation (Verschiebung) und Rotation. Im Beispiel des Farns links erzeugt die erste Abbildung die Stile, die zweite die rechten Seiten (in allen Größen), die dritte die linken Seiten. Die Wahl der Funktion bei jedem Durchgang der Iteration wird zufällig gewählt. Jede Funktion besitzt ein "Gewicht", also ein bestimmte Wahrscheinlichkeit für ihre Verwendung. Der Stil beispielsweise im Farn-Bild erhält 1% Wahrscheinlichkeit. Würde man mit dieser Methode die obige Peano-Kurve darstellen wollen, dann wäre die Kurve ein Attraktor der Abbildungen. Durch die Wahl von jeweils 6 Parametern für jede Abbildung und die Festlegung der Wahrscheinlichkeit, lassen sich ganz verschiedene "Pflanzen" erzeugen.

Mit IFSs lassen sich übrigens auch die recht beliebten Fractal Flames errechnen.




L-Systeme

In Kapitel 11 (Turtle-Grafik) des Buchs wurden Lindenmayer-Systeme behandelt. In Wikipedia finden Sie eine gut lesbare Zusammenfassung (falls Ihnen unser Buch nicht vorliegt ;-))
Wichtig in unserem Zusammenhang ist lediglich, dass die Erzeugung eines solchen Fraktals völlig anders als in den vorherigen Beispielen abläuft. Es handelt sich hier um eine Rekursion mit vorgegebener Tiefe n.



2D-Iterationen

Standard hier sind Mandelbrot- und Julia-Fraktal. Die meisten Bilder dürften mit diesen beiden Algorithmen erzeugt worden sein. (Mehr dazu erfahren Sie im Buch in Kapitel 10 und hier)
Definitionsmenge sind entweder die komplexen Zahlen oder die Ebene (über dem Körper der reelen Zahlen). Es gibt allerdings außer den genannten noch viele weitere Algorithmen, die durchaus interessante Bilder liefen. Das Bild ganz oben beispielsweise ist ein "Newton-Fraktal".



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