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Standard Map: KAM- und Can-Torus


Im Sketch unten wurden verschieden Startpunkte, die zu periodischen bzw. quasiperiodischen Bewegungen führen als Punkt bzw Orbit eingetragen. Es gibt beispielsweise 5 grün gezeichnete Orbits, die in der Mitte einen roten Punkt besitzen. (Dieser rote Punkt repräsentiert die periodische Schwingung.) Der Nenner der zugehörigen Schwingungszahl ist daher 5. Wenn Sie die anderen anderen vier Orbit-Inseln unten zählen, kommen sie auf 8 (rot), 13 (blau) und 21 (gelb) als Nenner. Der Zähler ist bisher nicht bekannt. Man weiß also beispielsweise noch nicht, ob die Schwingungszahl für die grünen Orbits 1/5, 2/5, 3/5 oder 4/5 ist. Man könnte den Zähler, wie Sie wissen, dadurch bestimmen, dass man kontrolliert, wie oft die Breite 1 durchlaufen wurde, bis der ursprüngliche Orbit wieder erreicht wird. Wären es zum Beispiel 3 mal, dann bekommt man für den Zähler 3 und für die Schwingungszahl 3/5.

Viel interessanter ist allerdings die Frage, wie man die Orte im Phasendiagramm finden kann, an denen eine periodische Bewegung vorliegt. Wie Sie im Kapitel Fixpunkte sehen können, lässt sich das Problem dadurch lösen, dass man zeigt, dass die Standardabbildung als Hintereinander-Ausführung zweier Involutionen geschrieben werden kann. (Involutionen sind Abbildungen, die ihre eigene Umkehrabbildung sind, wie zum Beispiel f(x) = -x .) Danach bestimmt man die Fixpunkte der beiden Involutionen. Diese sind auch gleichzeitig die Fixpunkte der Standardabbildung. Ein Ergebnis der Rechnung war, dass elliptsche Orbits immer einen Fixpunkt auf der Geraden x = π haben müssen. (Bei der Normierung auf 1 ist es x = 1/2). Dann kann man mit dem Sketch Elliptische Fixpunkte bestimmen   zugehörigen y-Werte testen, ob der Punkt (1/2;y) zum Beispiel nach 5 Iterationen wieder sich selbst ergibt. Wenn die Schrittweite für die y-Werte klein genug ist, bekommt man dadurch einen Startpunkt, der zu allen anderen zugehörigen Fixpunkten führt. Das Verfahren funktioniert allerdings nur dann zuverlässig, wenn man mit double-Größen arbeitet.
Und so können Sie den Sketch verwenden: Linker Mausklick: Trajektorie an dieser Stelle, rechter Mausklick: Vergrößerung an diesem Punkt, Taste "k": Neustart, Taste "+" und "-": K um 0.01 vergrößern bzw. verkleinern.



Der obige Sketch zeichnet nur für einige besondere Startpunkte die Folgepunkte ein. Hier die Umgebung dieser Trajektorien und ein letzter KAM-Torus:



Dieser "letzte" KAM-Torus wird auch goldener KAM-Torus genannt. Man erhält ihn bei K = 0.971635. Seine Schwingungszahl ist die "irrationalste Zahl" , die es gibt, also diejenige, die sich am schlechtesten durch rationale Zahlen approximieren lässt. Eine solche Approximation bekommt man mit Hilfe der Fibonacci-Zahlen auf folgende Weise:
1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 18/21, ...
(Summe aus Zähler und Nenner des letzte Elements ergibt den neuen Nenner, neuer Zähler ist alter Nenner.) Die orangen Orbits im Sketch gehören zur Schwingungszahl 3/5, die grünen zu 5/8, die blauen zu 8/13 und die nur in der Vergrößerung darunter zu sehenden magenta-farbenen zu 18/21. Nun können Sie versuchen in obigem Sketch den sich gerade auflösenden, letzten KAM-Torus (rot) zu überprüfen. Natürlich bleibt die rote Linie nicht als Linie erhalten, sofern man nur stark genug vergrößert. Sie können durchaus versuchen, einen "besseren" Wert für den letzten KAM-Torus zu finden.
Erhöht man K ein wenig, dann bekommt man eine fraktale Inselkette, die Cantorus genannt wird. Der Cantorus stellt keine Barriere mehr da für die Trajektorien, ist also durchlässig.

Golden-KAM-Torus .

Elliptische Fixpunkte bestimmen .

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