Maps
Standard Map: Fixpunkte
Oben sehen Sie einige Trajektorien der Standardabbildung in
zylindrischer Darstellung. Die waagrechte Achse
repräsentiert den Winkel α, die senkrechte Achse die Höhe y. Der Bildausschnitt zeigt den Bereich
für α und für y zwischen 0 und 2π Die Iterationen für α und y sind links zu sehen.
Die Pfeile im obigen Bild zeigen unmittelbar einsehbare Fixpunkte der Abbildung. Die drei unteren weißen
Punkte stehen für (0;0), (π;0), (2π;0), die drei oberen für (0;2π), (π;2π)und (2π;2π).
Beachten Sie, dass es sich hier jeweils nur um zwei Punkte handelt, denn die Punkte am linken Rand entsprechen
einander (wegen ...mod 2π). Da bei der Zylinder-Darstellung die y-Achse unbeschränkt ist, entsprechen
die Punkte am oberen Rand nicht den Punkten am unteren Rand!
Bezeichnen wir die Stanardabbildung mit f, dann gilt beispielsweise
f(π;0) = (π;0). Also ist (π;0)
ein Fixpunkt unter f. Und was ist mit dem roten Punkt (0;π)? Es gilt: f(0;π) = (π;π), es kann sich
also nicht um einen Fixpunkt handeln. Allerdings, wenn man das Ergebnis nochmal abbildet, kommt man wieder beim
Ausgangspunkt an. Das heißt, es gilt f2(0;π) = (0;π). Man nennt den Punkt daher einen
Fixpunkt zweiter Ordnung.
Ein erstes Mal haben wir uns im Abschnitt Darstellungen
mit Fixpunkten der Stanardabbildung beschäftigt. So zum Beispiel wurde dort gezeigt, dass Fixpunkte n-ter Ordnung
mindestens 2n verschiedene Fixpunkte haben müssen. Außerdem konnte man erkennen, dass es zwei verschiedene Arten
von Fixpunkten geben muss: elliptische und hyperbolische. Diese Erkenntnis hilft hier zu verstehen, weshalb die
zwei Fixpunkte 1.Ordnung (0;0) und (π;0) zwei völlig verschiedene Situationen zeigen. Der Punkt (π;0) gibt
keine weiteren Rätsel auf, denn hier handelt es sich ganz offensichtlich um einen elliptischen Fixpunkt. Sie können
in dem Sketch unten überprüfen, dass man, sofern man nur einigermaßen ins Zentrum des weißen Farbkreises klickt,
die zugehörige Trajektorie sehr klein ist. Trifft man (π;0) hinreichend genau, dann besteht die Trajektorie aus einem
einzigen Punkt, dem Fixpunkt (π;0). Ganz anders beim Punkt (0;0) ! Selbst wenn Sie sich noch so anstregen, das
Pixel, das (0;0) repräsentiert, anzuklicken, wenn sie Pech haben, wird ein großer Teil des Chaosbereichs von der
neuen Trajektorie getroffen. Andererseits besteht kein Zweifel, dass auch (0;0) ein Fixpunkt ist. Wenn man sich
die Erläuterungen zum hyperbolischen Fixpunkt ansieht,
wird verständlich, weshalb nur ein kleinster Fehler beim Startwert die Trajektorie ihren Verlauf
weit weg vom Fixpunkt führen wird: Eine der Linien, die den hyperbolischen Fixpunkt kreuzt, führt die nachfolgenden
Punkte, die nicht exakt auf (0;0) liegen, weit weg vom Fixpunkt. Probieren Sie es aus!
| Tasten- oder Klickaktion | Wirkung |
|---|---|
| Taste 1 | Fixpunkte 1. Ordnung |
| Taste 2 | Fixpunkte 2. Ordnung |
| Taste 3 | Fixpunkte 3. Ordnung |
| Taste a | Geraden, auf denen alle Fixpunkte liegen |
| Taste N | Neustart |
| Klick ins Bild | Trajektorie an dieser Stelle |
Zuerst klicken Sie in das obige Bild. Dadurch wird eine Trajektorie, die diesen Punkt enthält, gezeichnet. Dann
drücken Sie die Taste '1' und es werden die Fixpunkte 1.Ordnung gezeichnet. Mit der Taste '2' werden Ihnen die
Fixpunkte 2.Ordnung angezeigt. Wie aber haben wir die beiden (roten) Fixpunkte im Chaosbereich gefunden?
(Browser mit deaktiviertem JavaScript zeigen weiter unten das Ergebnis der Klickoperationen.)
Weiter oben finden Sie die Definition zweier Involutionen, I1 und I2. Eine Involution
ist eine Abbildung, die ihre eigene Umkehrung ist. Prüfen Sie I1 und I2 darauf hin.
Weiter gilt, dass die Verknüpfung von erst I1 und dann I2 genau die Stanardabbildung f
ergibt. Das ist äußerst praktisch, denn dadurch kann man einige Fixpunkte von f dadurch finden, dass man Fixpunkte
von I1 und I2 bestimmt. Im Fall von I1 sind das die Senkrechten α = 0
und α = π. Im Fall von I2 sind das die Geraden y = 2α und y = 2α-2π.
Klicken Sie im obigen Sketch die Taste 'a' und die zugehörigen Geradenabschnitte werden ins Bild eingetragen.
(Gegebenenfalls vorher einmal ins Bild klicken)
Nun weiß man natürlich noch nicht, wo genau die Fixpunkte auf den Geradenabschnitten liegen. Das kann man
numerisch lösen: Auf welchen Punkten der Geraden ist der Abstand zwischen Ursprungspunkt P und fn(P)
kleiner als zum Beispiel 10-9. Denjenigen Punkt, der dies erfüllt und darüberhinaus auch noch das
Minimun aller Abstände darstellt, ist eine Näherung für den gesuchten Fixpunkt.
Mit Taste '3' werden auch noch die Fixpunkte 3.Ordnung eingetragen (orange). Zwei davon liegen nicht auf den
Geradenabschnitten. Sie wurden durch Symmetrieüberlegungen gefunden.
Im Kapitel Hufeisen suchen erfahren Sie weitere erstaunliche Informationen zu den hyperbolischen Fixpunkten....
Fixpunkte-Sketch .
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