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Standard Map: Fixpunkte




Oben sehen Sie einige Trajektorien der Standardabbildung in zylindrischer Darstellung. Die waagrechte Achse repräsentiert den Winkel α, die senkrechte Achse die Höhe y. Der Bildausschnitt zeigt den Bereich für α und für y zwischen 0 und 2π Die Iterationen für α und y sind links zu sehen.
Die Pfeile im obigen Bild zeigen unmittelbar einsehbare Fixpunkte der Abbildung. Die drei unteren weißen Punkte stehen für (0;0), (π;0), (2π;0), die drei oberen für (0;2π), (π;2π)und (2π;2π). Beachten Sie, dass es sich hier jeweils nur um zwei Punkte handelt, denn die Punkte am linken Rand entsprechen einander (wegen ...mod 2π). Da bei der Zylinder-Darstellung die y-Achse unbeschränkt ist, entsprechen die Punkte am oberen Rand nicht den Punkten am unteren Rand!
Bezeichnen wir die Stanardabbildung mit f, dann gilt beispielsweise f(π;0) = (π;0). Also ist (π;0) ein Fixpunkt unter f. Und was ist mit dem roten Punkt (0;π)? Es gilt: f(0;π) = (π;π), es kann sich also nicht um einen Fixpunkt handeln. Allerdings, wenn man das Ergebnis nochmal abbildet, kommt man wieder beim Ausgangspunkt an. Das heißt, es gilt f2(0;π) = (0;π). Man nennt den Punkt daher einen Fixpunkt zweiter Ordnung.

Ein erstes Mal haben wir uns im Abschnitt Darstellungen mit Fixpunkten der Stanardabbildung beschäftigt. So zum Beispiel wurde dort gezeigt, dass Fixpunkte n-ter Ordnung mindestens 2n verschiedene Fixpunkte haben müssen. Außerdem konnte man erkennen, dass es zwei verschiedene Arten von Fixpunkten geben muss: elliptische und hyperbolische. Diese Erkenntnis hilft hier zu verstehen, weshalb die zwei Fixpunkte 1.Ordnung (0;0) und (π;0) zwei völlig verschiedene Situationen zeigen. Der Punkt (π;0) gibt keine weiteren Rätsel auf, denn hier handelt es sich ganz offensichtlich um einen elliptischen Fixpunkt. Sie können in dem Sketch unten überprüfen, dass man, sofern man nur einigermaßen ins Zentrum des weißen Farbkreises klickt, die zugehörige Trajektorie sehr klein ist. Trifft man (π;0) hinreichend genau, dann besteht die Trajektorie aus einem einzigen Punkt, dem Fixpunkt (π;0). Ganz anders beim Punkt (0;0) ! Selbst wenn Sie sich noch so anstregen, das Pixel, das (0;0) repräsentiert, anzuklicken, wenn sie Pech haben, wird ein großer Teil des Chaosbereichs von der neuen Trajektorie getroffen. Andererseits besteht kein Zweifel, dass auch (0;0) ein Fixpunkt ist. Wenn man sich die Erläuterungen zum hyperbolischen Fixpunkt ansieht, wird verständlich, weshalb nur ein kleinster Fehler beim Startwert die Trajektorie ihren Verlauf weit weg vom Fixpunkt führen wird: Eine der Linien, die den hyperbolischen Fixpunkt kreuzt, führt die nachfolgenden Punkte, die nicht exakt auf (0;0) liegen, weit weg vom Fixpunkt. Probieren Sie es aus!



Zuerst klicken Sie in das obige Bild. Dadurch wird eine Trajektorie, die diesen Punkt enthält, gezeichnet. Dann drücken Sie die Taste '1' und es werden die Fixpunkte 1.Ordnung gezeichnet. Mit der Taste '2' werden Ihnen die Fixpunkte 2.Ordnung angezeigt. Wie aber haben wir die beiden (roten) Fixpunkte im Chaosbereich gefunden? (Browser mit deaktiviertem JavaScript zeigen weiter unten das Ergebnis der Klickoperationen.)
Weiter oben finden Sie die Definition zweier Involutionen, I1 und I2. Eine Involution ist eine Abbildung, die ihre eigene Umkehrung ist. Prüfen Sie I1 und I2 darauf hin. Weiter gilt, dass die Verknüpfung von erst I1 und dann I2 genau die Stanardabbildung f ergibt. Das ist äußerst praktisch, denn dadurch kann man einige Fixpunkte von f dadurch finden, dass man Fixpunkte von I1 und I2 bestimmt. Im Fall von I1 sind das die Senkrechten α = 0 und α = π. Im Fall von I2 sind das die Geraden y = 2α und y = 2α-2π. Klicken Sie im obigen Sketch die Taste 'a' und die zugehörigen Geradenabschnitte werden ins Bild eingetragen. (Gegebenenfalls vorher einmal ins Bild klicken)
Nun weiß man natürlich noch nicht, wo genau die Fixpunkte auf den Geradenabschnitten liegen. Das kann man numerisch lösen: Auf welchen Punkten der Geraden ist der Abstand zwischen Ursprungspunkt P und fn(P) kleiner als zum Beispiel 10-9. Denjenigen Punkt, der dies erfüllt und darüberhinaus auch noch das Minimun aller Abstände darstellt, ist eine Näherung für den gesuchten Fixpunkt.
Mit Taste '3' werden auch noch die Fixpunkte 3.Ordnung eingetragen (orange). Zwei davon liegen nicht auf den Geradenabschnitten. Sie wurden durch Symmetrieüberlegungen gefunden.


Im Kapitel Hufeisen suchen erfahren Sie weitere erstaunliche Informationen zu den hyperbolischen Fixpunkten....

Fixpunkte-Sketch .

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