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Standard Map: Fluchtdiagramm


Mit Hilfe der Trajektorien haben wir einen recht guten Eindruck über die Natur der Standardmap bekommen. Dennoch bleiben Zweifel, ob man nicht noch weitere Erkenntnisse gewinnen könnte, indem man die Methode der Untersuchung ändert. Vergleichen kann man das mit einer ärztlichen Untersuchung zunächst mit Röntenstrahlen und dann, weil das Ergebnis nicht eindeutig ist, mit einer Magnetresonanztomographie.
Wenn Sie das Buch studiert haben,wissen Sie, was "Fluchtdiagramme" sind. Das bekannteste Beispiel ist die fraktale Mandelbrot-Menge. Die Farbe, die man einem Punkt der Definitionsmenge zuordnet, wird durch die "Geschwindigkeit" bestimmt, mit der sich der Punkt bei der Iteration von seinem Ursprungort wegbewegt. Im Fall der Standardmap interpretieren wir die "Geschwindigkeit" zunächst dadurch, dass wie den maximalen y-Abstand (also in der Senkrechten) zweier Punkte bei 50 Iterationen berechnen. Und diesem Wert ordnen wir eine Farbe zu. Probieren Sie es aus!


Mit Linksklick zoomt man in das Bild, mit Rechtsklick wird die Trajektorie, die sich aus diesem Punkt entwickelt, mit schwarz eingetragen. Zurück kommt man, indem man die Seite neu läd. Zoomen Sie an einer interessanten Stelle in das Fluchtdiagramm und sehen sich dort die Trajektorien an. So könnte das Ergebnis aussehen:


Im Bild links wurde ein Ausschnitt der Standartmap (rechts unten) vergrößert. Sie sehen, dass viele Startpunkte verwendet wurden. Dennoch erkennt man im mittleren Bereich des rot umrandeten Bildsegments nur Chaos. Der grün umrandete Bereich unten zeigt den selben Ausschnitt - allerdings im Fluchtdiagramm, bei dem (wie oben) der maximale y-Abstand bei 50 Iterationen farblich codiert wurde. Aber hier ist ganz deutlich eine Struktur zu erkennen. (Im Abschnitt Hufeisen suchen werden wir uns etwas ausführlicher mit dieser Eigenschaft beschäftigen.)
Suchen Sie den Bereich im obigen Sketch und vergrößern Sie diesen noch stärker, so etwa, wie in der Vergrößerung des grünen Rahmens weiter unten.


Sie erinnern sich: Das obige Fluchtdiagramm wurde über den maximalen y-Abstand errechnet. Es gibt natürlich noch viele andere Möglichkeiten, das Verhalten der Iterationspunkte zu codieren. Man könnte beispielsweise den Abstand der ersten Punktes vom letzten verwenden oder den Durchschnitt der Abstände zweier aufeinander folgender Punkte oder....- der Phantasie sind hier keine Grenzen gesetzt.
Die letzten sechs Bilder sind Ergebnisse derartiger Experimente. Sie können sich die Sketche, mit denen sie erzeugt wurden am Ende runterladen.
Beachten Sie dabei: Im Gegensatz zu dem obigen, im Browser laufenden Sketch, bei dem Multithreading leider nicht funktioniert, sind die herunterladbaren Sketche tatsächlich so programmiert, dass jeder Core des Prozessors die Berechnung eines Teils des Bildes übernimmt. Bei 16 Core etwa benötigt die Berechnung nur noch etwa ein Zwölftel der Zeit.


Gesondert soll hier auch ein Fluchtdiagramm in Polarkoordinaten behandelt werden. Insbesonder der rätselhafte Fixpunkt bei (0;0), der eigentlich sowohl elliptisch als auch hyperbolisch sein sollte, zeigt hier deutlich mehr Struktur, als in der Zylinder- bzw. Torusdarstellung. (Bild unten links).


Fluchtdiagramm 1

Fluchtdiagramm 2

Fluchtdiagramm 3

Fluchtdiagramm 4

Fluchtdiagramm 5

Fluchtdiagramm 6

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